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数学趣题之火柴中的学问

来源:常州奥数网 2012-02-07 14:24:02

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  有9根火柴,两人轮流取,每次可取1根或2根或3根,火柴取完后,取得总数为偶数者胜。

  在把这个问题搞清楚后(这个问题是后手必胜),我在想,能不能研究一般情况?即对任意多根火柴,应该如何研究?结论如何?为此,进行了如下研究:

  定义两个符合A(i)和B(i)分别用来表示对于i根火柴而言,先手最后能否取得奇数根和偶数根,具体的说,如果对于i根火柴,按上述要求取,先手有办法保证最后能取得奇数根,则A(i)=1,反之,A(i)=0,而如果对于i根火柴,按上述要求取,先手有办法保证最后能取得偶数根,则B(i)=1,反之,B(i)=0。

  显然有:

  A(1)=1B(1)=0即对1根,先手可以保证取得奇数根,但不能取到偶数根。

  A(2)=1B(2)=1即对2根,先手可以保证取得奇数根(取1),也能取到偶数根(取2)

  A(3)=1B(3)=1即对2根,先手可以保证取得奇数根(取3),也能取到偶数根(取2)

  对于4根而言,先手取掉一轮后,根据所取根数不同,总会变成1根或2根或3根的状态,先手4根想取得奇数根,必须在这三种状态中找到一种使对方取不到偶数的状态。由B(1)=0知,这种状态是存在的,于是先手四根只要取掉三根,对手面临1根的情况,而B(1)=0,这种状态下对方无法取得偶数,从而先手4根必可取得奇数根,即A(4)=1。下面考虑B(4),即先手4根能否取到偶数,取决于对手能否取得奇数,同样,先手四根取一轮后,也会变成1根或2根或3根的情况,而A(1)A(2)A(3)均取1,无论先手四根变成取1或2或3,后手均可取得奇数根,这样先手四根也只能取奇数根,于是B(4)=0。

  以上分析对于i是偶数的情况是通用的,即对于任意大于2的偶数i,如果B(i-1),B(i-2),B(i-3)中有一个取0,那么A(i)=1,否则,A(i)=0.而对于任意大于2的偶数i,如果A(i-1),A(i-2),A(i-3)中有一个取0,那么B(i)=1,否则,B(i)=0.

  我们可以分析一下A(5)的情况,先手取一轮后,必变成2根或3根或4根的情况,由于5是奇数,先手要想取到奇数根,必让对手取不到奇数根,而A(2),A(3),A(4)均等于1,即无论先手5将局面变成哪种情况,后手都可以取到奇数根,从而先手5不能保证取到奇数根,即A(5)=0。同样的分析,B(5)=1

  以上分析对于所有的奇数是通用的。即对于任意大于3的奇数i,如果A(i-1),A(i-2),A(i-3)中有一个取0,则A(i)=1,否则,A(i)=0。而对于任意大于3的奇数i,如果B(i-1),B(i-2),B(i-3)中有一个取0,那么B(i)=1,否则,B(i)=0.

  有了以上分析,不难得出以下结论:

  A(1)=1B(1)=0

  A(2)=1B(2)=1

  A(3)=1B(3)=1

  A(4)=1B(4)=0

  A(5)=0B(5)=1

  A(6)=1B(6)=1

  A(7)=1B(7)=1

  A(8)=0B(8)=1

  A(9)=1B(9)=0(这个结论就表示对9根而言,先手无法保证取到偶数,即原题中后手胜)

  继续往下写,可以发现,以上取值情况以8为周期循环。这样,这个问题就得到了解决。

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